Применение maple в изучении дифференциальной геометрии

Поскольку в настоящее время уже нет необходимости программировать компьютер для решения типовых задач, то для большей наглядности и глубины понимания материала рекомендуется использовать компьютер в образовательном процессе. Одна из самых мощных систем компьютерной математики Maple в диалоговом режиме решает огромное число математических задач, имеет мощные графические средства и встроенный язык программирования, позволяет проводить не только вычисления, но и символьные преобразования математических выражений. Остановимся подробнее на применении Maple при изучении дифференциальной геометрии.

Дифференциальная геометрия имеет многочисленные приложения в механике, оптике, теории поля. Исследование, например, геодезических сопряжено с необходимостью исследования и решения систем дифференциальных уравнений, что ограничивает возможности применения аналитических методов и вынуждает прибегать к компьютерным методам исследования. Изучимнахождение геодезических с использованием Maple (пакеты DifferentialGeometry, GroupActions, LieAlgebras, Tensor). Пусть, например, алгебра Ли четырехмерна, а ее таблица умножения [[e1, e2] = e2, [e1, e3] = -e3]. Умножение элемента группы с координатами  [a1, a2, a3, a4] на элемент группы с координатами [x1, x2, x3, x4] выглядит следующим образом (функция LeftMultiplication):

[x1 = a1 + x1 e^-a3; x2 = a2 + x2 e^a3; x3 = x3 + a3; x4 =x4 + a4].

Правоинвариантные векторные поля (функция LieAlgebraData) для группы Ли:

[D_x1 ; D_x2 ; -x1 D_x1 + x2 D_x2 + D_x3 ; D_x4].

Обозначим многообразие Mи используем координаты [x, y, z] на M. Наша следующая задача вычислить действие группы G на многообразии M:  

[x = a1 + x e^-a3; y = a2 + y e^a3; z = z + a4 ].

Локальное действие (InfinitesimalTransformation) группы G на многообразии M:

[D_x ; D_y; -xD_x + y D_y; D_z ].

Подалгебра, являющаясяалгебройЛистабилизатора(IsotropySubalgebra), имеетвид[-xD_x + y D_y]. Сведем инвариантный тензор (PushPullTensor) нагруппе Ли кинвариантной невырожденной метрике на M:

g= dxdy+ dydx+ bdzdz.

Вычислим алгебру Ли векторов Киллинга (KillingVectors) для метрики. Получим полную алгебру инфинитеземальных изометрий метрики g:

[-z D_x+y D_z/b; D_z/b; -z D_y+xD_z/b; xD_x-y D_y; D_x ; D_y].

Пусть  - линейная связность на M. Если [x(t); y(t); z(t)] кривая на Mс касательным вектором T, тогда уравнения геодезических относительно связности – это система второго порядка ОДУ. Найдем вектор (GeodesicEquations), компоненты которого - компоненты уравнений на геодезические:

{d²/dt² x(t); d²/dt² y(t); d²/dt² z(t)}.

Решив эту систему 2 ОДУ второго порядка (dsolve), мы получаемгеодезические:

{x(t) = _C5 t + _C6; y(t) = _C3 t + _C4; z(t) = _C1 t + _C2}

Также библиотека plots системы Maple предоставляет возможности построения трехмерной динамической компьютерной модели геодезических, оснащенной динамическим цифровым, языковым и графическим сопровождением.