О курсе «Компьютерная дифференциальная геометрия»

Рассматривается содержание и некоторые вопросы методики изучения курса «Компьютерная дифференциальная геометрия» для студентов-математиков университетов.

Математику как науку можно разделить на дискретную и непрерывную. В непрерывной математике явно или неявно содержится идея теории пределов и непрерывности, которая самым активным образом присутствует, например, в классической дифференциальной геометрии. В ней все используемые функции, по умолчанию, предполагаются непрерывными и дифференцируемыми до нужного порядка. В XX стала активно развиваться дискретная математика в связи тем, что она является теоретической основой компьютерной математики, а также средством и языком для построения и анализа моделей в различных науках, в том числе - геометрии.
Цель данного курса –компьютерно-ориентированное изучение дифференциальной геометрии, а его содержанием – являются программирование графики на одном из языков программирования, компьютерное моделирование дискретных аналогов дифференциально-геометрических объектов.
В основу философии данного курса заложена китайская пословица: «Я слышу и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и постигаю».
В курс «Компьютерной дифференциальной геометрии» входят вопросы, входящие в содержание классического курса «Дифференциальной геометрии», такие как: 
Способы задания плоских кривых. Касательная и нормаль плоской кривой. Длина дуги. Соприкасающаяся окружность и кривизна плоской кривой.
Кинематические методы моделирования плоских кривых. 
Способы задания пространственных кривых. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Длина дуги пространственной кривой. Формулы Френе. Кривизна и кручение пространственной кривой. Кинематический метод моделирования пространственных кривых. Способы задания поверхностей. Координатная сеть. Кинематический метод моделирования поверхностей. Первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности.
Однако изучение и моделирование указанных геометрических образов основывается на их дискретизации. Например, касательная к кривой γ в точке M0 определяется как предельное положение секущей M0M, при стремлении M к M0, поэтому касательную можно рассматривать в виде прямой, проходящей через две близкие точки M0, M1. Другой пример, геометрический смысл кривизны кривой в точке заключается в пределе отношения угла поворота касательной на дуге при стремлении длины дуги к нулю. Аппроксимировать кривизну можно как отношение угла поворота касательной на дуге, определяемой двумя близкими точками кривой, к длине этой дуги. Нами проведена дискретизация основных фигур дифференциальной геометрии и методов их моделирования.
 Такой подход к изучению дифференциально-геометрических объектов приводит к более глубокому пониманию сути этих объектов, развитию наглядных представлений, пространственного воображения, геометрической интуиции.